Ring Ring ra....

[pbanados 926]

Y bueno... algunos ejercicios de discretización. Hice una rutina bastante básica de discretización de la señal. Con ello en los siguientes gráficos se puede más o menos visualizar los efectos de lo teorizado por Shannon. 

La señal sampleada a 44.1 Khz, pero sin discretizar en altura (cada sampling con un valor real, no entero), compuesta de una fundamental f=440 Hz, y armónicos en 880 Hz (2f), 1760 Hz (4f), 2200 Hz (5f), 3080 Hz (7f), y 5280 Hz( 12f). Y alturas relativas de estos armónicos respecto de la fundamental (1) de 0.3, 0.5, 0.4, 0.3 y 0.25 respectivamente. Todo en fase. Además hay un agregado de cierta amplitud de ruido aleatorio (gris claro alrededor de amplitud 0, apenas visible), que genera la señal completa con ruido en rojo:

La descomposición Fourier del lo anterior (en amplitud logarítmica), verificando las cifras indicadas arriba. El ruido significativo agregado a la señal se ve en el manchón inferior:

Acá viene lo interesante: la señal compuesta (sin la suciedad del ruido, o sea, la linea negra del primer gráfico) fue discretizada en apenas 8 bits (a propósito, si la discretizo a valores comunes de 16 o 24 bits, no se vería nada: la precisión sería tan grande que todo se superpondría). El siguiente gráfico muestra un zoom con los primeros 50 samplings, con la señal discretetizada mostrada como "escalera", que es la representación que los que critican las señales digitales les gusta usar (recordar, acá solo en 8 bits de profundidad).

Pero el asunto es que los algoritmos de reconstrucción de los DAC NO OCUPAN esa función "escalera", lo cual intuyo que es imposible, pues no existe forma de levantar el voltaje instantáneamente en un pulso verticalmente como se requeriría para esa reconstrucción. Los DACs ocupan funciones de reconstrucción con interpolación. Esta misma señal se muestra acá también con una interpolación básica tipo "splines" (sin siquiera ningún ajuste fino). En gris grueso y claro se ve la señal "análoga", en negro la teórica escalera, y en café la señal interpolada, que sería algo más parecido a lo que realmente es el output analógico de un DAC.

Como se puede apreciar, aún en miserables 8 bits de bitrate, la reconstrucción  por splines es virtualmente perfecta: la línea café está justo al centro de la señal análoga gris. Lo otro notable es la insignificancia del error de cuantificación, ploteado en gris pero tan pequeño que se ve como una linea casi recta en 0mV:

En estos ejemplos aún la frecuencia más alta (5080 Hz) está bastante lejos de la frecuencia de Nyquist del sampling adoptado(44.1Khz, implicando una Nyquist en 22.05 Khz, como en un CD). Por razones prácticas no usé frecuencias más agudas, pues el gráfico se transforma en un puro manchón de líneas. Pero lo interesante del asunto, emho, es cómo una función de reconstrucción spline, alternativa a la sin(x)/x propuesta por Shannon, logra generar la misma reconstrucción perfecta que él teorizaba, y esto aún en el bajísimo bitrate de 8 bits.

 

Por supuesto, si se usa un bitrate extremadamente bajo para la señal que se está tratando, la reconstrucción será completamente inexacta. Acá la misma señal pero dicretizada a apenas 4 bits, donde sí se ven grandes discrepancias con la señal análoga (en gris gruesa). Además ahora aparece el "error de cuantificación" de amplitud significativa, la linea gris que acompaña la roja del ruido aleatorio agregado a a señal:

 

Editado Septiembre 4, 2022 por pbanados